Теория тяготения и эволюции звезд [Игорь Дмитриевич Новиков] (pdf) читать онлайн

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!


 [Настройки текста]  [Cбросить фильтры]

,К . ! . . З Е Л Ь Д О В И Ч
и д .н о в и к о в

ТЕОРИЯ
ТЯГОТЕНИЯ

и

эволюция

Я. В. ЗЕЛЬДОВИЧ,

и. д .

НОВИКОВ

ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ
И ЭВОЛЮЦИЯ ЗВЕЗД

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НА УК А »
ГЛАВНАЯ Р ЕД А К Ц И Я
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИ ТЕРАТУ РЫ
МОСКВА

1 971

528
3-50
УДК 523.11

Яков Борисович Зельдович, Игорь Дмитриевич Новиков
Теория тяготения и эволюция звезд
М.. 1971 г., 484 стр. с илл.
Редактор Л. М. Озерной
Техн. редактор К. ф. Брудио

Корректоры Е. А. Белицкая,

Г. Л. Папькова

Сдано в набор 25/УШ 1971 г.
Подписано к печати 9/ХИ 1971 г.
Бумага 60x90/16.
Фи8. печ. л. 30,25.
Условн. печ. л. 30,25.
Уч.‫־‬и8Д. л. 32,12.
Тираж 3500 экз.
Т-19573.
Цена книги 2 р. 14 к.
Заказ 2811
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы.
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография издательства «Наука», Москва. Шубинский пер., д. 10
2-0-4
141-71‫״‬

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ

.............................................................................................................
РАЗДЕЛ

7

I

ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ
Г л а в а 1. Уравнения тяготения Э йнш тейна................................................
§ 1. Равенство инертной и гравитационной м а с с ..........................
§ 2. Основная идея О Т О ...............................................................................
§ 3. Неинерциальные и нестатические системы в простран­
стве — времени М инк овск ого..........................................................
§ 4. Измерение времени и пространственных расстояний . . .
§ 5. Векторы, тензоры и геодезические л и н и и ...............................
§ 6. Динамические и кинематические величины ..............................
§ 7. Кривизна пространства — в р е м е н и ...................... ......................
§ 8. Уравнения тяготения Эйнштейна и уравнения движения
§ 9. Космологическая п остоян н ая ..........................................................
§ 10. Закон Ньютона и слабое поле тя готен и я ...................................
§ 11. Аналог зееман-эффекта в гравитационном поле вращаю­
щегося т е л а .................................................. . . ........................................
§ 12. Гравитационное и зл у ч е н и е..............................................................
§ 13. Гравитационное излучение двойных з в е з д .................................
§ 14. Торможение гравитационным и зл у ч е н и е м ...............................
§ 15. Детектирование гравитационных в о л н ........................................
§ 16. Гравитационные волны: численные оценки и взаимодейст­
вие с вещ еством..................................................................................... . 7 6
Глава
§
§
§
§
§
§
§
Глава
§
§
§

И
11
14
17
20
25
29
32
34
39
45
51
52
59
64
73

2. Неизбежность общей теории относительности (ОТО) и за ­
дачи теории т я г о т е н и я .......................................................................
1. В в е д е н и е ...................................................................................................
2. Единая теория поля, геометродинамика, фундаментальная
масса и д л и н а .........................................................................................
3. Теория тяготения в плоском пространстве — времени . .
4. Неизбежность идеи кривизны пространства — времени . .
5. О возможности вычисления гравитационной постоянной
на основе теории элементарных ч а с т и ц ................................
6. Квантование тя готен и я ......................................................................
7. Скалярная теория т я го тен и я ..........................................................

96
100
104

3.
1.
2.
3.

107
107
110
112

Сферически-симметричное поле т я г о т е н и я ..............................
В в е д е н и е ...................................................................................................
Поле тяготения Ш варцш и льда................................................. .
Поле тяготения внутри з в е зд ы .......................................... .... . .

85
85
86
87
93

§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
Глава
§
§
§
§
§
§

4. Движение по радиусу лучей света и ультрарелятивист‫־‬
ских ч а с т и ц ............................................................................................. ..... 114
5. Радиальное движение не релятивистских частиц . . . .
118
6. Потенциальные кривые д в и ж е н и я ......................................................122
7. Круговые о р б и т ы ................................................................................. .....124
8. Движение релятивистской частицы в кулоновском поле 126
9. Гравитационный захват не релятивистской частицы . . . 128
10. Движение ультрарелятивистских частиц и лучей света 129
11. Движение тел в поле тяготения Шварцшильда с учетом
гравитационного и зл у ч е н и я .............................................................. .....130
12. Я- и Т‫־‬области в пространстве—времени Шварцшильда 134
13. Внутреннее решение для нестатического ш а р а .......................139
14. Метрика К ру скал а ............................................................................ .....142
4. Несферические поля т я г о т е н и я .........................................................151
1.
2.
3.
4.
5.

В в е д е н и е .................................................................................................. .....151
Статическое поле с аксиальной сим м етр ией.......................... .....152
Внешнее поле вращающегося тела; метрика Керра . . . 157
Сфера Шварцшильда во внешнем квадрупольном поле . . 163
Коллапс вращающегося тела с малыми отклонениями от
сферической си м м етр и и ............................................................................164
6. Сингулярность при коллапсе; что происходит с веществом
после ухода под 6‫^״‬о р .................................................................................170

РАЗДЕЛ

II

УРАВН ЕНИ Е СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА
Глава
§
§
Глава
§
§
§
§
§

5. Введение. Понятие д а в л е н и я ........................................................ .....178
1. Разные виды д а в л е н и я ...................................................................... .....178
2. Случай да льнодействующих с и л .................................................... .....179
6. Холодное в е щ е с т в о ............................................................................ .....184
1.
2.
3.
4.
5.

§ 6.
§ 7.
§ 8.
§ 9.
§ 10.
§ 11.
§ 12.
Глава
§
§
§

7.

Подразделение на о б л а с т и .......................................................... .....184
Вырожденный электронный г а з .................................................... .....187
Поправки в области высоких д а в л е н и й .........................................191
Область средних п л о т н о с т е й .......................................................... .....194
Ядерные процессы и ядерное взаимодействие, влияние на
уравнение с о с т о я н и я .................................................................................200
Свойства нейтронного г а з а ....................................................................206
Плотность, превышающая я д е р н у ю ..................................................210
Идеальный нейтронный газ при сверхвысокой плотности 212
Идеальный газ с учетом взаимного превращения частиц 214
Все ли «элементарные» частицы эл ем ен т а р н ы ? ............................218
Электромагнитное взаимодействие ч а с т и ц ............................... .....220
Предельно жесткое уравнение со ст о я н и я ........................................223
Свойства вещества при высокой т е м п е р а т у р е .................. .....227

1. Физические условия в обычных з в е з д а х ................................... .....227
2. Высокие т ем п ер ату р ы .............................................................................229
3. Различные типы равновесия . , t . t , t ....................... .... .....232

Глава
§
§
§
§
§
§
§

8. Термодинамические величины при высоких температурах
1. Нейтральный газ; плазма, равновесие и о н и зац и и ...................
2. Термодинамика и зл у ч е н и я ..............................................................
3. Пары и н е й т р и н о ................................... .............................................
4. Диссоциация я д е р .............................. .... .............................................
5. Плотное вещество при низких т ем п ер а ту р а х..........................
6. Б езразмерная э н т р о п и я ...................................................................
7. Общие термодинамические соотношения для истинно нейтральной м а т е р и и .................................................................................

РАЗДЕЛ

238
238
241
244
248
253
253
256

III

РЕЛЯТИВИСТСКИЕ СТАДИИ ЭВОЛЮЦИИ ЗВЕЗД
Глава

9. В в е д е н и е ................................................................................................. ..... 259

Г л а в а 10. Равновесие и устойчивость з в е з д ................................................ ..... 267
§ 1. Общие задачи теории равновесия з в е з д ...................................... ..... 267
§ 2. Аналитическая теория политропных газовых сфер (теория
Лейна — Э м д е н а ) ....................................................................................... 279
§ 3. Релятивистские уравнения равновесия з в е з д ы ........................... 289
§ 4. Теория холодных белых к а р л и к о в ................................................ ..... 306
§ 5. Нейтронные з в е зд ы .................................................................................... 316
§ 6. Дефект м а с с ы ......................................................................................... ..... 321
§ 7. Устойчивость нейтронных з в е з д ....................................................... 323
§ 8. О решениях с положительной э н е р г и е й ...................................... ..... 326
§ 9. Нестабильность любого равновесного с о с т о я н и я ................. ..... 329
§ 10. Критические состояния массивных з в е з д ........................................ 332
Г л а в а И . Эволюция з в е з д ................................................................................. ..... 339
§ 1. Эволюция звезды, вплоть до потери устойчивости или
стадии белого к а р л и к а ....................................................................... ..... 339
§ 2. Нестабильность массивных звезд с ядерными источника­
ми э н е р г и и ..................................................................................................... 347
§ 3. Устойчивость эволюции з в е з д ы .......................................................... 349
§ 4. Вспышки с в е р х н о в ы х ........................................................................ ..... 355
§ 5. Физика нейтронных з в е з д .................................................................... 376
§ 6. Эволюция звезды с массой, большей ОВ-предела . . . .
382
§ 7. Релятивистский коллапс и «застывшие» звезды («черные
ды ры »)......................................................................................................... ..... 383
§ 8. Испускание нейтрино при коллапсе остывшей звезды . . 387
§ 9. Помешает ли быстрое вращение коллапсу звезды?................. .....390
Г л а в а 12. Аккреция газа на релятивистские о б ъ е к т ы ........................... ..... 394
§ 1. Газ, подвергающийся а к к р е ц и и .................................................... ..... 394
§ 2. Падение невзаимодействующих ч а с т и ц .................................... ..... 396
§ 3. Четыре режима газодинамического течения в случае
сферической си м м етр и и ..................................................................... ..... 398
§ 4. Сверхзвуковая а к к р е ц и я .................................................................. ..... 401
§ 5. Выделение энергии при симметричной аккреции на ней­
тронные звезды и белые к а р л и к и ...................................................... 404
§ 6. Симметричная аккреция в гравитационном поле застыв­
ших з в е з д ...................................................................................................... 407

§ 7. Случай несимметричного течения г а з а ..................................
§ 8. Силы, препятствующие а к к р е ц и и ............................................
§ 9. Аккреция как эволюционный ф а к т о р ....................................
§ 10. Об электрическом заряде з в е з д .................................................
Г л а в а 13. Пульсары...........................................................................................
§ 1. Общий обзор, излучение п ул ь сар ов.........................................
§ 2. Энергетика пульсаров, их гравитационное излучение .
§ 3. Электродинамика п у л ь с а р а .......................................................
§ 4. Плазма в поле излучения вблизи п у л ь с а р а ......................
§ 5. Сверхтекучесть и сверхпроводимость сверхплотного ве
щества; их влияние на свойства нейтронной звезды . .
§ 6. Пульсары в Г а л а к т и к е ...............................................................
§ 7. Таблица свойств нейтронных звезд, как пульсаров . .

408
412
415
416
420
420
425
428
431

Глава
§
§
§
§
§

441
441
445
449
451
458

14. Коллапсировавшие звезды и «белые дыры» (отоны) . .
1. Коллапсировавшие звезды в двойных системах . . . ‘. .
2. Магнитные явления при релятивистском коллапсе . . .
3. Аккреция на о то н ы ...........................................................................
4. Статистика звезд в конечной точке звездной эволюции .
5. Отоны космологического п р о и с х о ж д е н и я ...........................

434
437
438

П р и л о ж е н и е 1. Физические процессы в окрестности «черной
дыры» с в р а щ е н и е м .........................................................................

462

П р и л о ж е н и е 2. Таблица результатов расчетов взрывов сверх­
новых .........................................................................................................

465

Л и т е р а т у р а ....................................................................................

467

Предметный у к а з а т е л ь ............................................................

480

Алфавитный список авторов иностранных публикаций

482

Эволюция звезд и грандиозные явления их взрыва и сж атйя,
недавно открытые пульсары и предсказанные теорией, но до на­
стоящего времени не обнаруженные «черные дыры» составляют
предмет предлагаемой книги, вместе‫ ״‬с теми теоретическими све­
дениями, которые необходимы для их понимания.
Астрономия переживает в настоящее время период бури и на­
тиска. Десятилетие с 1960 по 1970 гг. вместило в себя открытие
квазаров, пульсаров, рентгеновских источников и реликтового
излучения. В теоретической астрофизике важные гипотезы и от­
крытия появляются еще чаще.
Наблюдательные открытия в значительной мере связаны с но­
выми, послевоенными методиками исследований — радиоастро­
номией и приборами на ракетах и спутниках.
Часть упомянутых открытий была предсказана заранее и это
показывает правильность физических теорий, применимость физи­
ческих законов, открытых в лабораторных 'экспериментах, к
астрономическим объектам.
Теоретическими основами современной астрофизики являются:
1 ) теория тяготения в ньютоновской форме и общая теория отно­
сительности Эйнштейна;
2 ) теория элементарных частиц и, более узко, ядерная физика,
свойства электронного газа и фотонов, их взаимодействие;
3) электромагнетизм — уравнения Максвелла;
4) макроскопическая физика — статистика и термодинамика, гид­
родинамика, теория плазмы, теория коллективных взаимодей­
ствий. Д ля интерпретации спектров важна атомная физика,
теория переноса излучения.
Этот перечень по необходимости схематичен и чрезмерно краток.
Последовательное развитие астрофизических теорий, основан­
ных на этом фундаменте, иногда приводило к странным и на первый
взгляд парадоксальным выводам о наиболее кардинальных мо­
ментах в эволюции отдельных небесных тел и окружающей нас
Вселенной. Таким было, например, предсказание Л. Д. Ландау
(в начале тридцатых годов) о нейтронных звездах, или предсказание
(в сороковых годах) возможности «горячего» состояния материи
в начале расширения Метагалактики. Отождествление пульсаров
с нейтронными звездами (1968) и объяснение реликтового излу­
чения теорией горячей Вселенной (1965) являются прекрасными
примерами плодотворности теоретической астрофизики.
Выводы и предсказания теоретической физики должны рас­
сматриваться с полной серьезностью в астрономии — таков обоб-

щающий итог всего послевоенного развития астрономии и физики.
С другой стороны, в настоящее время в печати можно видеть оби­
лие теоретических работ, не выдерживающих последующей про­
верки опытом, обилие сменяющих друг друга объяснений, таких,
например, объектов, как квазары. Однако эти несомненные недо­
статки и трудности теории относятся, по нашему мнению, к вы­
бору конкретных моделей, к современному стилю быстрой публи­
кации приоритетных заявок и т. п. Подобные недостатки не дол­
жны подрывать принципиальной уверенности в физических
основах теории, и развитие науки неоднократно подтверждало это.
Однако очень принципиальный вопрос заключается в том, не
должны ли мы именно в астрофизике ожидать возникновения
новых фундаментальных физических теорий и связанного с ним
разрушения существующих взглядов и догм.
Разумеется, в необычных астрофизических условиях, напри­
мер, сверхбольших плотностей и температур, еще не исследован­
ных земной физикой, могут проявляться новые, пока не известные
законы природы. Однако современная астрофизика оперирует
главным образом с условиями, где применимость надежно уста­
новленных законов природы не вызывает сомнений. Астрофизика
встречается лишь с необычной комбинацией этих условий.
Поэтому, по нашему убеждению, в рамках существующих
физических теорий заключена возможность огромного количества
новых эффектов, новых явлений, и это дает возможность объясне­
ния астрофизических открытий. Может быть, примеры из других
областей лучше пояснят эту мысль: сверхпроводимость есть свое­
образное явление, но и до создания конкретной теории было ясно,
что явление сверхпроводимости есть следствие квантовой меха­
ники и не потребует изменения ее основных положений; такое же
соотношение имеет место между турбулентностью и гидродинами­
кой. Весьма вероятно, что и совокупность всех известных до на­
стоящего времени астрономических явлений удастся объяснить,
комбинируя известные законы физики, проявляющиеся в необыч­
ных условиях астрофизических объектов, причем, однако, нет
сомнения, что это «комбинирование» будет абсолютно нетриви­
альным. Можно напомнить в этой связи, что применение общей тео­
рии относительности в астрономии (требуемое новыми открытиями),
по существу, только начинается, и одна из задач книги способ­
ствовать этому.
Еще раз подчеркнем, что при столкновении в астрономии с ус­
ловиями, выходящими за рамки применимости современной физи­
ки (например, при плотностях, в начале космологического рас­
ширения намного превышающих плотность атомного я д р а ) , можно
ожидать проявления действия еще не известных законов природы.
Особенно хочется отметить роль моделей (или, н а другом языке,
схематической упрощенной картины явления) в развитии теоре­

тической астрофизики. За редким исключением, наблюдательные
данные не дают такой прямой, всесторонней и однозначной инфор­
мации, какую можно получить в лабораторном опыте. Поэтому
первые интерпретации открытого в астрофизике явления обычно
отличаются большим разнообразием попыток теоретического объ­
яснения, неоднозначностью теоретической модели.
Кроме того, огромная сложность процессов, изучаемых астро­
физикой, часто заставляет делать те или иные упрощения для по­
строения физико-математической теории.
Только после определенных предположений можно развить
теорию явления и, сравнивая отдельные выводы теории с наблю­
дениями, судить о правильности исходных предположений, исход­
ной модели.
Значительная часть предлагаемой книги посвящена именно рас­
смотрению отдельных моделей.
В предлагаемой книге авторы старались соблюсти равновесие
и правильные пропорции между изложением достигнутых резуль­
татов и постановкой задач, подлежащих решению. В значитель­
ной мере книга адресована тем, кто продолжит исследования,
т е. тем, чьи труды через несколько лет сделают книгу в некоторой
части устаревшей. Наша задача заключается в том, чтобы воору­
жить исследователя теоретическими основами, наряду с изложе­
нием наблюдательных фактов.
Мы старались сосредоточить внимание на наглядной интер­
претации теории (что, как показал опыт, является наиболее труд­
ным и важным), в меньшей степени уделяя внимание математи­
ческому формализму *). Особое внимание уделено общей теории
относительности, т. е. релятивистской теории тяготения.
Теория предсказывает, в частности, явление релятивистского
коллапса — катастрофического сжатия, сопровождающегося на­
растанием гравитационных полей, останавливающих даже кванты
и нейтрино. Открытие этого явления — дело будущего и мы
хотели бы способствовать приближению этого будущего.
Уже сейчас появляются сообщения об открытии гравитацион­
ных волн и об огромном (даже по астрономическим масштабам)
количестве энергии, уносимом этими волнами. Теория гравита­
ционных волн и их излучения подробно изложена в книге.
Выше отмечены только разделы, необычные для классической
астрофизики. Полное представление о содержании книги, вклад*) Такого рода заявления или, скорее, заклинания встречаются, впро­
чем, в предисловиях к самым абстрактным и формальным трудам. По-видимо­
му, сказывается отсутствие ГОСТа (Государственного общесоюзного стан­
дарта) на «физическую наглядность». Каждый автор считает наглядной Ъу
теорию, которую ему удалось понять или развить. Конечно, мы приводим
и математическую теорию рассматриваемых процессов; утверждение в тексте
означает, что мы ставили акцент на то, чтобы показать, как применяется аб­
страктный формализм в конкретной ситуации,

чающем вкратце и более привычные разделы (белые карлики,
равновесие и эволюция, горячих звезд и т. д.) можно составить,
ознакомившись с оглавлением.
Разумеется, наша книга не заменяет учебников теоретичес­
кой физики. Вкратце повторяя стандартные формулы, мы сос­
редоточивали внимание на их приложениях и разъяснении. Со­
ветский читатель располагает прекрасными учебниками Л. Д.
Ландау и Е. М. Лифшица «Теория поля» и «Статистическая фи­
зика».
Очевидна трудность создания монографии о быстро развиваю­
щейся области науки; претензии на пророчества и наглядность
еще увеличивают трудность задачи и риск неудачи.
Н а примере «Релятивистской астрофизики», вышедшей в кон­
це 1967 года, авторы имели возможность убедиться в том, как
трудно и «опасно» писать монографию. Говорят, что «главный
урок истории заключается в том, что никто не усваивает уроки
истории». После выхода «Релятивистской астрофизики» появи­
лось много работ и сделан ряд открытий, которые заставляют
развить дальше часть конкретных вопросов, изложенных там.
Вскоре мы убедились, что необходимо написать две новые книги:
одна из них перед вами, вторая посвящена космологии и выйдет
на год позже. Проблема квазаров и звездных скоплений также
будет рассмотрена во второй книге.
В предлагаемой книге, посвященной теории тяготения, теории
уравнения состояния вещества и звездам материал из «Реляти­
вистской астрофизики» использован лишь частично, тем не менее
в новой книге мы старались сохранить структуру и стиль нашей
прежней книги.
Большую помощь в работе над книгой оказали нам сотрудники
группы теоретической астрофизики Института прикладной мате­
матики, к которой мы принадлежим: Г. С. Бисноватый-Коган,
А. Г. Дорошкевич,В. С. Имшенник, Б. В. Комберг, Д. К. Надёжин,
А. А. и Т. В. Рузмайкины, Р. А. Сюняев, В. М. Чечеткин,
Н. И. Шакура, А. А. Шварц, В. Ф. Шварцман.
Мы особенно благодарны В. С. Имшеннику и Д. К. Надежину,
написавшим для нашей книги параграф о вспышках сверхновых
звезд, и В. Ф. Шварцману, являющемуся соавтором главы об
аккреции газа на. релятивистские объекты. Мы благодарны
проф. К. С. Торну (США), который, являясь одним из редакторов
английского перевода «Релятивистской астрофизики», сделал мно­
го ценных замечаний, учтенных при работе над данной книгой.
Им написано несколько параграфов по вопросам, в которых
Торн является крупнейшим специалистом. Мы благодарны всем
друзьям и коллегам за критические замечания и дискуссии.

РАЗДЕЛ I

ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ

ГЛАВА

1

УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
§ 1. Равенство инертной и гравитационной масс
Современная теория тяготения, сформулированная в 1916 г.
Альбертом Эйнштейном, явилась развитием специальной теории
относительности (СТО) и поэтому часто называется «общей те­
орией относительности» (ОТО).
Суть СТО выражена в преобразованиях Лоренца для коорди­
нат и времени и соответствующих законах преобразования таких
физических величин, как энергия, импульс и т. д. Все предпо­
сылки и выводы СТО — постоянство скорости света, зависимость
массы от скорости, дефект массы и его связь с энергией системы,
растяжение времени при быстром движении на примере распа­
да частиц — подтверждены опытом. СТО вошла в практику ин­
женерных расчетов. Поэтому в правильности СТО никаких сом­
нений нет.
Общая теория относительности (ОТО) находится в совершенно
ином положении. Опыты, специфически подтверждающие ОТО,
до сих пор немногочисленны. К ним относятся движение пери­
гелия Меркурия, отклонение света в поле тяжести Солнца, изме­
нение частоты света в поле тяжести и релятивистское запаздывание
радиолокационных сигналов, проходящих вблизи солнечного дис­
ка. По существу, главным аргументом в пользу ОТО является тот
известный каждому школьнику исходный факт, который вдох­
новил Эйнштейна — пропорциональность веса и массы, т. е.
равенство ускорения различных тел в поле тяжести.
Закон тяготения Ньютона Р = — ~-^ т2 очень похож на
г2

закон Кулона Р =
. Естественно, возникает вопрос, почему
так различны по своему содержанию теория электромагнитного
поля, которая рассматривается в евклидовом пространстве, и
ОТО с понятием кривизны пространства; нельзя ли поле тяго­
тения также описывать как какое-то поле в евклидовом простран­
стве?

Ниже будет показано, что СТО и квантовая механика дела­
ют логически неизбежным характерное для ОТО искривление
пространства — времени. ОТО является не только математически
наиболее изящной и стройной, но и физически необходимой
теорией тяготения.
Как уже подчеркивалось, самой важной особенностью поля
тяготения является то, что оно совершенно одинаково действует
на различные тела, сообщая им одинаковые ускорения. Этот
факт был установлен еще Галилеем. Поле тяготения тем самым
в корне отличается от всех других известных в физике полей.
Естественно, что в последнее время, когда наблюдается ожив­
ление интереса к теории тяготения, одной из первых задач было
экспериментальное выяснение вопроса о фактической точности
вывода об одинаковости ускорений, сообщаемых полем тяготения
разным телам. Иначе этот принцип формулируется как принцип
строгой пропорциональности инертной и весомой массы. Послед­
няя формулировка особенности действия поля гравитации на
тела эквивалентна предыдущей. Действительно, в уравнениях
движения тела в поле тяжести
сРг
Ши‫־‬ж = “ Шг ®гаа ^7
слева стоит инертная масса, а справа гравитационная. Если для
любых тел ти = атГ1 то масса слева и справа сокращается,
и мы приходим к закону Галилея, поскольку масса вообще не
входит в уравнения движения. Множитель а, очевидно, зависит
только от единиц измерения и его выбирают равным единице.
В 1890 г. Этвеш применил чрезвычайно точный способ для
проверки пропорциональности гравитационной и инертной масс.
Суть опыта состояла в следующем. Всякое тело, находящееся на
поверхности Земли и покоящееся относительно Земли, подверга­
ется действию притяжения не только со стороны Земли, но также
со стороны Солнца, Луны и других небесных тел. Н а тело дей­
ствуют также центробежные силы, связанные с суточным вращением
Земли вокруг своей оси, с годовым обращением Земли вокруг
Солнца, с месячным взаимным обращением центра Земли вокруг
центра тяжести системы Земля — Луна.
Притяжением планет и других небесных тел можно пренеб­
речь. Точно так же можно пренебречь ускорениями, связанными
с движением Солнца в Галактике и т. д. Ускорение земного тя­
готения около 980 см/сек2, центробежное ускорение суточного
вращения на широте Москвы около 1,5 см/сек2. Ускорение сол­
нечного поля тяготения на орбите Земли около 0,5 см/сек2:
центробежное ускорение годичного вращения Земли, очевидно,
также равно 0,5 см/сек2. Действие Луны характеризуется уско­
рением 4 ‘10~ 3 см!сек2.

Представим себе два тела, А и В , равной массы, уравновешенные
на коромысле, подвешенном за середину к тонкой нити. Силы
притяжения к Земле, к Солнцу и Луне пропорциональны гра­
витационной массе, центробежные силы пропорциональны инерт­
ной массе.
Для тел с одинаковым соотношением инертной и весомой
масс результирующая сила, действующая на каждое тело, имеет
одинаковое направление. Равновесие при определенном поло­
жении коромысла сохранится и при любом повороте коромысла
относительно земной оси и относительно Солнца. Если же отноше­
ния масс разные, то при коромысле, установленном перпенди­
кулярно к направлению центробежных сил, эти силы не будут
уравновешены и вызовут поворот коромысла вокруг оси, совпадаю­
щей с нитью, на которой подвешено коромысло. Центробежная
сила суточного вращения больше центробежной силы годового
вращения; однако поворот коромысла относительно Солнца со­
вершается просто в процессе вращения Земли, без изменения вза­
имного расположения коромысла и окружающих его лаборатор­
ных предметов и рельефа поверхности Земли. Поэтому практиче­
ски удобнее следить за тем, испытывает ли коромысло повороты
в зависимости от его ориентации относительно Солнца.
Из отсутствия таких поворотов Этвеш сделал вывод, что от­
ношение весомой и инертной масс для разных тел различается
не более, чем на 108~‫־‬. В последнее время в США опыты Этвеша
были повторены Дикке (1961), Роллом, Кротковым и Дикке
(1964) и в Советском Союзе Брагинским, Пановым (1971). Группа
Дикке довела точность до 10“10, а группа Брагинского до 1012‫־‬.
Их результаты совпадают с результатом Этвеша: отношение
гравитационной и инертной масс разных веществ совпадают. Но,
по Брагинскому, точность этого совпадения 1012~‫ !־‬Остановимся
на смысле полученного результата.
Инертная масса зависит от энергии — это вывод СТО. Дей­
ствительно, из СТО известно, что когда два атома дейтерия со­
единяются в один атом гелия, то инертная масса уменьшается
приблизительно на 6 • 1 0 ~ 3 своей величины в соответствии с
дефектом масс гелия и дейтерия. Точные определения массы при
помощи масс-спектрографа, с одной стороны, и прямые измере­
ния энергии ядерных реакций,— с другой, подтверждают этот
вывод СТО.
От чего же зависит гравитационная масса тела, и, следова­
тельно, сила, испытываемая им в поле тяготения? Зависит ли
она от числа барионов в теле, т. е. от барионного заряда, напо­
добие того как электростатическое притяжение зависит от элек­
трического заряда, или эта сила зависит от полной энергии те­
ла? Д ля обычных веществ (не мезонов, не антивещества) число
барионов и инертная масса приблизительно пропорциональны

друг другу с расхождениями около 10“3. Поэтому при малой
точности опыт типа Этвеша не мог бы решить вопрос. Однако
точность опыта 1 0 “ 12 приводит к категорическому выводу о том,
что сила тяжести пропорциональна именно энергии тела, как
и инертная масса. Такая точность означает прочность фундамента
ОТО.
Эксперимент Этвеша показывает, что притяжение не опреде­
ляется барионным зарядом тела и всемирное тяготение нельзя
представлять сёбе наподобие электростатического притяжения
разноименных электрических зарядов. Поэтому абсолютно оши­
бочны и антинаучны представления о том, что какие-то частицы,
например,-так называемая антиматерия (позитроны, антипротоны,
антинейтроны), могут испытывать «антигравитацию». Из опытов
на ускорителях хорошо известно, что для создания античастиц
нужно затратить энергию; эта энергия является источником
массы античастицы, античастица имеет весомую массу, в точности
такую же, как и соответствующая частица. Косвенным доказа­
тельством этого являются и опыты Этвеша и Дикке.
Ли и Янг (1955) (см. также работу Дикке (1962)) ставили
вопрос, нет ли наряду со всемирным тяготением еще аналога
кулоновских сил, пропорциональных числу нуклонов; опыты
Этвеша и Дикке показывают, что таких сил нет или, точнее, что если
есть, то во всяком случае эти силы находятся за пределами точ­
ности опыта; для этого нужно, чтобы предполагаемые Янгом
и Ли силы были в 107 раз слабее гравитационных и в 1043 раз
слабее кулоновских (для двух протонов) *).
Подчеркнем, что если бы силы, связанные с барионным за­
рядом, существовали, то ОТО тем не менее осталась бы в силе.
Правда, в этом случае выявить из опыта фундаментальные факты,
лежащие в основе ОТО, было бы гораздо сложнее.
§ 2. Основная идея ОТО
Ньютону представлялось очевидным, что физическое прост­
ранство — евклидово; существуют параллельные линии, сумма
углов треугольника с прямыми сторонами равна я , длина ок­
ружности равна 2 яг и т. д., а время течет всегда и везде одинаково.
Сама идея, что свойства пространства могут быть иными
(например, сумма углов треугольника зависит от его площади),
возникла гораздо позже. Математически такие пространства
были открыты и исследованы Лобачевским.
*) Существование сил Ли и Янга невозможно в однородной изотропной
космологической модели (см. об этом гл. 22 нашей книги «Релятивистская
астрофизика»).

В СТО в инерциальной системе отчета квадрат четырехмер­
ного расстояния (в пространстве и времени) между двумя бес­
конечно близкими событиями (интервал) записывается в виде
_ (^)2 _ (^)2 _
(1 . 2 . 1 )
где с — скорость света, t — время, х, у 1 г — декартовы коорди­
наты. Такая система координат носит название галилеевой.
Выражение (1.2.1) имеет вид, аналогичный выражению для
квадрата расстояния в евклидовом трехмерном пространстве в
декартовых координатах (с точ­
ностью до числа измерений и
знаков перед квадратами диф­
ференциалов в правой части).
Такое
пространство — время
принято
называть
плоским
евклидовым или, точнее, псевдоеклидовым, подчеркивая особый
характер времени: в выражении
(1 .2 . 1 ) перед квадратом диффе­
ренциала времени стоит знак
( + ) , в отличие от знаков перед
пространственными координата­
ми. Таким образом, СТО являет- д
2?
ся теорией физических процессов в плоском п р о с тр а н с тв е времени, носящем название про- t — время. Пунктир—мировая линия проб11/г
ной частицы, движущейся по инерции.
странства — времени
Минков’
ского.
Движение свободной частицы по инерции в этом пространстве —
времени изображается прямой линией (рис. 1). Эта линия носит
название мировой линии свободной частицы. Мы не останавли­
ваемся на упомянутых вопросах более подробно, предполагая,
что читатель знаком с основами СТО.
Идея Эйнштейна, вдохновленная принципом эквивалентности
и положенная в основу теории тяготения, заключается в том,
что и в поле тяготения все тела движутся по экстремальным
(геодезическим) линиям в пространстве — времени, которое, од­
нако, уже не плоское, а искривленное.
Массы, создающие поле тяжести, искривляют пространство —
время. Те тела, которые движутся в этом искривленном прост­
ранстве — времени, и в этом случае движутся по одним и тем же
геодезическим линиям, независимо от массы или состава тела.
Движение по геодезической в искривленном пространстве — вре­
мени воспринимается нами как движение по кривой с переменной
скоростью. Но с самого начала в теории Эйнштейна заложено,
что искривление траектории, закон изменения скорости — это

свойства пространства — времени, свойства геодезических в этом
пространстве, а значит, ускорение любых разных тел должно
быть одинаково, значит, отношение весомой массы к инертной
(от которого зависит ускорение тела в данном поле тяжести)
одинаково для всех тел. Таким образом, поле тяготения есть
отклонение свойств реального пространства — времени от свойств
плоского многообразия. Однако исторически Эйнштейн исхо­
дил из более наглядных представлений, из простой физической
модели поля тяготения, обладающего свойством равенства уско­
рения всех тел.
Хорошо известна модель лифта: в отсутствие истинного по­
ля тяготения в замкнутом, ускоренно движущемся объеме (в
кабине лифта, к которой извне приложена сила) все явления
протекают в точности так же, как в поле тяготения в таком же
объеме, покоящемся или движущемся равномерно *). Относитель­
но кабины тела движутся ускоренно и это ускорение одинаково
для всех тел. В ускоренно движущейся кабине (без истинного
тяготения) можно наблюдать и другие проявления тяготения,
например, изменение частоты распростаняющегося света. В самом
деле, будем сравнивать частоту испущенного света с частотой
света, принятого через время Д£ после испускания. За это время
скорости кабины и всехпредметов изменятся вследствие ускорения.
Значит, скорость приемника света в момент приема будет отличаться
от скорости источника. За счет доплер-эффекта возникает раз­
ность частот испущенного и принятого света, зависящая от направ­
ления луча света и направления ускорения. Такова трактовка
внешнего наблюдателя, знающего, что кабина движется ускоренно.
Внутренний наблюдатель в лифте приписывает изменения
частоты действию на свет того же «гравитационного» поля, кото­
рое вызывает ускоренное движение (относительно кабины) сво­
бодных тел внутри кабины.
Если это ускорение направлено от излучателя к приемнику,
то свет испытывает «синее» смещение, в противоположном слу­
чае — «красное».
Точно так же легко убедиться, что в кабине будет наблюдаться
искривление траектории светового луча относительно трехмер­
ной системы координат, скрепленной с кабиной. Таким образом,
явления в ускоренно движущейся системе отсчета и в поле тяго­
тения в точности одинаковы.
Однако этот прием описывает только однородное гравитаци­
онное поле, одинаковое по величине й направлению во всем прост­
ранстве. Поля тяготения, создаваемые отдельными телами, не
таковы.
*) В поле тяготения для того, чтобы кабина покоилась, к ней также дол ­
жна быть приложена внешняя сила, уравновешивающая силу тяготения.

Д ля того чтобы имитировать поле тяготения Земли, например,
нужны лифты с различным направлением ускорения в различных
точках. Установив между собой связь, наблюдатели в различных
лифтах обнаружат, что они движутся друг относительно друга
и I тем самым установят
наличие истинного поля тяго­
тения, которое нельзя свести к одной ускоренно движущейся
системе координат. Истинное гравитационное поле нельзя устра­
нить преобразованием координат; это особенно подчеркивает в
своей известной монографии Фок (1961). Однако модель лифта
настолько естественно описывает важнейшие свойства тяготе­
ния (равенство ускорений всех тел, влияние на свет), что от нее
неразумно отказываться. Д ля того чтобы сохранить применимость
этой модели локально ( в каждой точке пространства — времени),
вводят соответствующее преобразование системы отсчета в каждой
области. При этом, однако, оказывается, что в целом глобально
преобразование уже не сводится просто к иному движению в
плоском пространстве — времени, а означает переход к искрив­
ленному пространству — времени.
В следующих параграфах будут кратко изложены математи­
ческие методы описания кривизны пространства — времени, не­
обходимые для дальнейшего. Читателей, интересующихся подроб­
ным изложением вопроса, мы отсылаем к книгам Рашевского
(1964), Ландау и Лифшица (1967) и работе Зельманова (1959а).
§ 3. Неинерциальные и нестатические системы
в пространстве — времени Минковского
Д ля того чтобы лучше уяснить смысл кривизны пространства —
времени, напомним сначала особенности геометрии пространства
и течения времени в неинерциальных и нестатических системах
отсчета, движущихся с ускорением в плоском пространстве —
времени Минковского. Это позволит нам ввести понятия, необ­
ходимые для вычислений в искривленном пространстве — вре­
мени *).
В мире Минковского (т. е. вдали от тяготеющих масс) гео­
метрия в инерциальной системе отсчета евклидова и время течет
везде одинаково.
Рассмотрим теперь, следуя Эйнштейну (1965 **)) (см. также
Ландау и Лифшиц (1967)), равномерно вращающийся диск. Наб­
людатель А , не участвующий во вращении, может измерить длину
*) С математической точки зрения это соответствует введению криволи­
нейных координат на плоскости, полученный аппарат затем используется для
вычислений на кривой поверхности, где пользоваться криволинейными коор­
динатами просто необходимо.
**) Мы ссылаемся на собрание трудов Эйнштейна, первый том которых
вышел в 1965 г.

окружности края диска I и его диаметр d (например, измеряя
длину окружности, начерченную непосредственно под вращаю­
щимся диском, и диаметр этой окружности). Очевидно, что
Ud = я. Другой наблюдатель, В , находящийся на вращающемся
диске, тоже измеряет длину окружности, непосредственно при­
кладывая масштаб к его краю, а затем к диаметру.
Наблюдатель А замечает, что когда наблюдатель В приклады­
вает движущийся масштаб к краю диска, масштаб испытывает
лоренцово сокращение длины. Следовательно, на длине той же
окружности уложится больше масштабных отрезков, и длина
окружности получится больше, чем при измерении в инерциальI
ной системе, а именно, Т
L=
—, где v — скорость края
У 1 — г;2/с2
диска. Когда на вращающемся диске масштаб прикладывают к
диаметру, для неподвижного наблюдателя А он не сокращается
в длине, так как движется в поперечном направлении. Следо­
вательно, измерение диаметра даст то же число, что и в инерциальной системе d — d. Поэтому по изменению на вращающемся
Т
I
.
диске отношение
= - - у -...: ===‫ ־‬я, что не соответствует
геометрии Евклида*). Заметим, что если скорость вращения диска
меняется, то геометрия будет меняться со временем.
Обратимся теперь к свойствам течения времени. Чем дальше
от центра диска, тем больше линейная скорость вращения, тем
медленнее идут часы согласно формуле СТО: t = t ] / 1‫ — ״‬г;2/с2.
Таким образом, темп течения времени разный в разных точках
диска. Если же скорость вращения меняется, то и темп этот ме­
няется с течением времени.
Но это еще не все. Рассмотрим часы, расположенные на од­
ной окружности диска. Они движутся с одинаковой линейной
скоростью у, и темп их хода одинаков. Чтобы они всегда показы­
вали одинаковое время, у них должно быть начало отсчета,
т. е. их нужно синхронизовать. Из СТО известно, что если
синхронизовать с помощью лучей света часы I и I I в двух точ­
ках движущегося тела (рис. 2 ), то для неподвижного наблюда­
теля часы I идут несколько впереди часов I I . Поэтому, если по­
пытаться синхронизировать часы, расположенные на окружности
на вращающемся диске, получим следующее (рис. 2). Часы I I
отстают для внешнего наблюдателя от / , часы I I I от I I и тем
более от / и т. д. Обойдя всю окружность и вернувшись к / , мы
*) Заметим, что здесь нельзя обратить рассуж дения, считая наблюдателя
В покоящимся, а наблюдателя А движущимся, ибо на диске действуют цент­
робежные и кориолисовы силы (вызванные вращением), которых нет в инерциальной системе А . Системы А и В неравноправны.

должны заключить, что в этой же точке часы, синхронные с / ,
должны идти позади / , что явно нелепо.
Рассуждение показывает, что на вращающемся теле нельзя
установить единое время•. Время не только течет по-разному в
разных точках, но и понятия одновременности в одной и той же
системе отсчета не существует.
До сих пор мы рассматривали диск, вращающийся с постоян­
ной угловой скоростью. Предполагалось, что свойства диска не
изменяются со временем. Когда мы анализировали измерение
длины окружностиприкладыванием масштаба, мы не заботились
о покрытии масштабом всех частей в
один и тот же «м:омент времени», так
как с течением времени свойства не ме­
нялись. Теперь мы понимаем, что пред­
ставление об одновременности не при­
менимо к конечным областям диска.
Вот почему бессмысленно говорить о
свойствах диска как целого в данный
«момент», если диск вращается с пере­
менной угловой скоростью. Однако для
малых частей диска можно с достаточ­
ной точностью ввести понятие одновре­ Рис. 2. К синхронизации часов
менности, чтобы определить геометри­ на вращающемся диске (см.
текст).
ческие свойства этих малых частей ди­
ска и говорить об отклонении их гео­
метрии от евклидовой (т. е. отклонение суммы углов треуголь­
ника от я и т. п.).
Если угловая скорость диска меняется со временем, то ме­
няются и геометрические свойства его различных частей.
Подведем итог. Уже в обычном (и привычном) плоском прост­
ранстве — времени с телами, движущимися ускоренно, нельзя
связать жесткую систему пространственных координат, в которой
выполняется трехмерная геометрия Евклида и течет единое время,
как это можно сделать с телами, движущимися по инерции. За
исключением специальных случаев (например, равномерно вра­
щающийся диск), любая система отсчета будет с течением времени
деформироваться, ее геометрические свойства (как говорят,
свойства сопутствующего пространства системы отсчета) будут
меняться так же, как и ход связанных с ней часов.
В ньютоновской физике жесткая декартова система отсчета
могла быть задана положением в каждый момент начала отсчета
и ориентацией осей. В релятивистской теории, в инерциальной
системе СТО, ситуация не меняется, но при неинерциальном
движении, чтобы •определить систему отсчета, надо задать не
только движение и повороты одного ее участка (начала отсчета),
но и всех других участков. Таким образом, системой отсчета

является совокупность пробных частиц (с каждой из которых
связаны часы), заполняющих всю интересующую нас область
пространства и движущихся по нашему произвольному выбору.
Аналогичная ситуация имеет место и в ОТО. Различие заклю­
чается в том, что в СТО в отсутствие полей тяготения всегда
можно перейти от неинерциалыюй системы отсчета к инерциальной и пользоваться ею во всей интересующей нас области прост­
ранства — времени. В ОТО этого сделать нельзя вследствие
кривизны пространства — времени.
Обратимся теперь к математическому выражению указанных
выше особенностей. Все формулы, которые мы получим, будут
справедливы не только в плоском пространстве — времени, но
и в искривленном пространстве — времени общей теории отно­
сительности, так как они формулируются локально, а в силу
принципа эквивалентности гравитационное поле локально не­
отличимо от ^ускоренной системы отсчета.
§ 4. Измерение времени и пространственных расстояний
В инерциальной системе отсчета СТО не обязательно пользо­
ваться декартовыми пространственными координатами. Можно
использовать любые криволинейные координаты, например, сфе­
рические. В общем виде преобразование от одних пространствен­
ных координат к другим записывается в виде
х 1* = ха (х1, £2, х3).

(1.4.1)

Здесь индекс а пробегает значения 1, 2, 3, а х1, х2, х 3 обозна
чают три пространственные координаты.
Выражение для
примет теперь вид, отличный от (1.2.1).
Вместо последних трех квадратов дифференциалов декартовых
координат будет стоять выражение квадрата элемента простран­
ственного расстояния в криволинейных координатах (взятое с
обратным знаком). В сферических координатах это будет — °Определим теперь пространственное расстояние dl. Это нельзя
сделать, положив в (1.4.7) dx° = 0, x Q= const. Дело в том, что
одинаковым показаниям часов в разных точках пространства
вовсе не обязательно соответствует один и тот же момент реаль­
ного времени. Поэтому, прежде чем проводить вычисление, надо
определить, какому значению х° в соседней точке соответствует
«одновременное» с данным значение я 0 в исходной точке. Такая
синхронизация часов осуществляется с помощью световых сиг­
налов. Мы не будем здесь останавливаться на вычислениях,
отсылая интересующихся к учебнику Ландау и Лифшица (1967),
и приведем сразу окончательную формулу для квадрата простран­
ственного расстояния dl2:
dP ‫ ( ־־־‬- gaP +

dx- dxt, a, p = 1, 2, 3.
(1.4.9)
*
Величины, стоящие в скобке, обозначают через ha$. Они опре­
деляют метрику трехмерного пространства системы отсчета *).
*) Это трехмерное пространство определено только локально, в следую­
щем смысле: в каждой точке пространства — времени это бесконечно малая
трехмерная поверхность, ортогональная к мировой линии (ж1, ж2, ж3) = const.
Но эту трехмерную поверхность в общем случае нельзя непрерывно продол­
жить к соседним точкам так, чтобы она была ортогональна к проходятцим
через них мировым линиям (я?1, ж2, ж3) == const. Это легко понять на следую­
щем простом примере для линий в привычном для нас трехмерном пространс­
тве. Пусть в трехмерном пространстве имеется семейство линий, закрученных
винтом. При попытке провести поверхность, ортогональную к ним, наподобие
винтовой лестницы, мы получали бы разрывы, как у оси винтовой лестницы.
Возвращ аясь к четырехмерному пространству, заметим, что в соответствии
с теоремой дифференциальной геометрии, бесконечно малые трехмерные по­
верхности можно соединить в конечную трехмерную поверхность тогда и
только тогда, когда мировые линии (ж1, ж2, ж3) = const имеют нулевое кр у­
жение, или, что тоже самое, когда система отсчета не вращается, что обычно

Элемент объема трехмерного пространства определяется выра­
жением dV = Y h* dx1dx2 dz3; h* = | hiß | — определитель матри­
цы, составленной из элементов haß.
Рассмотрим для примера тот же вращающийся диск. По фор­
муле (1.4.8) находим из (1.4.6) для интеграла времени (тиль­
ду над координатами в дальнейшем не пишем)
d x = Y i-^ -d t.
Н а оси вращения г = 0 и dx = dt. Предыдущая формула теперь
перепишется в виде
dx = У 1 - i j l d w
Время течет тем медленнее, чем дальше точка от оси вращения.
Для элемента пространственного расстояния из (1.4.6) и
(1.4.9) находим
dl = . _ / * • » +

+ dz\
1 ‫־־־‬

У

(1.4.10)

с2

С помощью (1.4.10) получаем, что при z = const, г — const,
77
dl
— — Гdtp и отношение длины окружности к диаметру равно
1 /
Q2г2
V 1‫ ־‬т ‫״‬
^ окр ________ Я
d



т. е. больше я, в соответствии со сказанным в предыдущем пара­
графе.
Приведем еще пример нестатической, т. е деформирующейся
с течением времени системы отсчета.
Рассмотрим в пространстве — времени Минковского совокуп­
ность частиц, вылетающих в некоторый момент из одной точки
со всевозможными скоростями по всем направлениям. Мировые
линии таких частиц заполняют внутреннюю часть светового ко­
нуса. Систему отсчета, связанную с частицами, назовем системой
Милна (рассматривавшего такую модель).
не выполнено. Следовательно, хотя пространственная метрика &*aß опре­
делена в каждой точке пространства—времени, она обычно не является мет­
рикой крупномасштабной трехмерной поверхности, вписанной в пространство
— время. Это метрика трехмерной поверхности, геометрические свойства
которой (риманова и гауссова кривизны; см. конец этого параграфа и конец
§ 8), а также деформации ее со временем и т. д. описывают геометрические и
кинематические свойства системы отсчета в малой окрестности данной точки.

Переход от сферических координат г, 0 , ф недеформирующей•‫־‬
ся системы отсчета и лабораторного времени £ к координатам
Милна ‫״‬ф, 0, ф и собственному времени частиц £ дается формулами
Р = Р — г2/с 2, tЩ = г/сЬ,
0 =

0, ф =

ф.

Эти формулы легко получить из следующих соображений.
Д л я каждой частицы имеем г = VI, где V — постоянная скорость
частицы. Можно выбрать V в качестве лагранжевой координаты.
Однако удобно в качестве такой координаты выбрать не само Vу
а величину ‫׳‬ф = агЬЬ — = агЬЬ-4г . Кроме того, согласно лоренце________

с г

с

вой формуле для сокращения времепи 1 = 1 1 / " 1 ---- ==
Таким образом,
* = ] / Г2 — -Ç-,

Ij5 = a r l h ,

|/*£2



0 = 0 , ф = ‫״‬ф.

Подставляя эти преобразования в ds2 = c2dt2— dr 2 — г2 (d0 2 +
+ sin 20 cftp2), получаем выражение для ds 2 в системе Милна:
ds* = d {et)2 — (et)2 [й‫׳‬ф2 + sh 2i|)(d0 2 + sin 20 cftp2)].
В фиксированный момент времени проведем через начало коорди­
нат экваториальную плоскость 0 = я /2 . Очевидно, ,отношение
длины экватора
*
я »ь±> я .
d

ф

I=

2 я с ^ Ь ‫׳‬ф

к

диаметру

d =

2 tyct

равно

^

Заметим, что если в данном месте поверхности отношение длины
малой окружности к диаметру l/d меньше я , то кривизна поверх­
ности положительна и геометрия подобна геометрии на сфере.
Если же l/d ^ > я , то кривизна отрицательна и геометрия подоб­
на геометрии на псевдосфере (седлообразной поверхности).
Численно кривизна поверхности характеризуется квадратом ра­
диуса кривизны а2, который определяется следующим образом. Н а
поверхности чертится малый треугольник, стороны которого —
кратчайшие линии (геодезические). Обозначим через 2 сумму углов
треугольника. Можно доказать, что разность 2 — л пропорцио­
нальна площади треугольника S :
2 — я = cS.
Коэффициент пропорциональности (Г носит название кривизны,
а величина а = l / c ,/z — радиуса кривизны. Если 2
я , то с =

— 1/а 2 ]> 0, т. е. кривизна положительна. Если 2 ]> я, то с =
= 1/а 2 < 0, т. е. кривизна отрицательна, а — мнимо. Чем меньше
| а 2 |, тем больше кривизна, и геометрия сильнее отличается от
евклидовой.
Кривизна 3-мерного пространства в данной точке находится
следующим образом. Через точку проводится геодезическая
поверхность (аналог плоскости в евклидовом пространстве) и
определяется ее кривизна. Эта кривизна называется римановской
кривизной пространства в данном двумерном направлении.
В разных направлениях кривизна может быть разная. Кривизна,
усредненная по всем направлениям, носит название гауссовой
кривизны пространства. Формулы для вычисления кривизны
в общем случае мы выписывать не будем. Д ля важпых частных
случаев формулы даны в конце § 8 этой главы.
Нетрудно понять математическую причину неевклидовости
3-мерной геометрии в неинерциальной или нестатичёской системе
отсчета в плоском 4-мерном пространстве — времени. Когда
рассматривается 3-мерное пространство и н е р ^ ц и а л ь н о й
системы, это означает сечение 4-мерного пространства — времени
«плоской» 3-мерной гиперповерхностью. Пространство 3-мерной
неинерциальной
(или нестатической) системы яв л я­
ется искривленным сечением 4-мерного пространства — времени.
Неудивительно, что геометрия этого искривленного сечения не­
евклидова. Ситуация полностью аналогична геометрии на ис­
кривленной двумерной поверхности в обычном (плоском) 3-мерном
пространстве. !Несмотря на то, что это пространство плоское,
геометрия на кривой поверхности неевклидова.
§ 5. Векторы, тензоры и геодезические линии
В СТО вводится понятие 4 -мерного вектора (4-вектора) В {
как совокупности четырех величин (функций координат и времени),
которые при преобразовании Лоренца преобразуются как коор

■®г/г

Ыт

дх1 дхт «

ёиёт к^

1.5.5)

/;| г гч

" ? 5 ‫)״‬

Можно использовать также смешанные компоненты:
=

-В Т .

(1.5.6)

Аналогично обобщается понятие тензора более высокого ранга.

Компоненты g*&, как показывает закон их преобразования,
составляют тензор. Этот тензор играет в теории фундаментальную
роль и носит название фундаментального метрического тензора.
Определитель
g = k i* l

(1•5•7)

называется фундаментальным определителем.
Величины

где A ik — алгебраические дополнения элемента
называются
контр вариантными компонентами метрического тензора.
Из (1.5.8) следует, что
ё и Г = ЬТ,

(1.5.9)

где 6 ™ — символ Кронекера. Отсюда, используя (1.5.5), находим
B ib =

(1 . 5 . 1 0 )

Таким образом, если опускание значков производится с помощью
ковариантных компонент gikl «то их поднятие — с помощью
контрвариантных компонент glk.
Смешанный тензор gx равен символу Кронекера gl = б£.
Образуем величину A xB it Она является скалярным произведе­
нием векторов и не изменяется при преобразовании координат,
В частности, квадрат длины вектора есть
А 2 = A lA h

(1.5.11)

Аналогично можно составить скаляр из двух тензоров.
A * B ik = А \В \ = A ikB ik.
Все три записи эквивалентны. В частности, если второй тензор —
фундаментальный, то A zKgi}( = А\ называют следом тензора.
Подобным же способом из ‫׳‬тензоров высшего ранга можно об­
разовывать тензоры более низкого ранга. Например,
A^lmSi = А\ц = A ki.
Такая операция называется свертыванием тензоров.
В криволинейных координатах обобщается также понятие
дифференцирования векторов и тензоров. Ковариантной произ­
водной (обозначается точкой с запятой) контрвариантного вектора
и ковариантного вектора
называются величины (тензоры)

соответственно
B U = ^ r + TimB l ,

(1.5.12)

5 *‫־ = *־‬Э

( 1 ,5 Л З )

‫ ־ ־‬Г« * » •

Здесь Т1тп — символы Кристофеля (не тензоры!), определяемые
выражениями
V1

1тп

I ^

^

‫־‬2 ‫ ־‬£

km

kn

.

\

(\

с;

4/\

В декартовых координатах, очевидно, все ТтП = 0, и ковариантное дифференцирование сводится к обычному.
Аналогично дифференцируются тензоры:
В ?1 = ~ г +

гhB™*

+ ГK
n lB im,

(1.5.15)

dB*

4 ; г= —f - T Ä

,

(1.5.16)

Вш; г = — г ‫ — ־‬I Ä K - № т .

(1.5.17)

oxL

+

д*

Полезно заметить, что из (1.5.12), (1.5.14) и выражения для
ds 2 можно получить следующую формулу для ковариантной рас­
ходимости вектора:
,

,
/ - *

а ,'

Наконец, приведем уравнение в криволинейных координатах,
которое определяет геодезическую линию, соединяющую в 4-мер­
ном пространстве две точки (в плоском пространстве это прямая):
d • 5 •19)
Движение тела по инерции в пространстве Минковского, как из­
вестно из СТО, изображается прямой (и к тому же времениподобной) линией. Следовательно, (1.5.19) есть уравнения движения
тела по инерции, записанные в криволинейных координатах
неинерциальной системы отсчета. Дифференциальное уравнение
для геодезической в искривленном пространстве — времени имеет
точно такую же форму, что и уравнения (1.5.19) для прямой
линии в плоском пространстве — времени в криволинейных ко­
ординатах.

§ 6. Динамические и кинематические величины
Величины gik в (1.4.7) составляются из производных пре­
образования (1.4.4), определяющего движение системы отсчета
относительно исходной инерциальной системы. В частности, в
gm входят

? т.

е. скорости.

Поэтому

естественно, что gile

содержит информацию не только о течении времени и геометрии
системы, но и о ее ускорениях и деформации. Приведем здесь
окончательные формулы для вычисления динамических и кине­
матических величин, отсылая за подробностями к работам Зельманова (1944; 1959Ь). Трехмерный вектор ускорения, котороо ис­
пытывает относительно системы отсчета свободное покоящееся
в данный момент в этой системе тело, определяется, как будет
показано ниже, выражением
^.а = _ ^ £

00_

(а =

goo

1

2 , 3 ).

(1 -6 . 1 )

7

v

Величины Гоо определены в предыдущем параграфе [см. (1.5.14)],
F* образует в системе отсчета поле инерциальных сил. Вектор
F а является трехмерным и для операций с ним надо использо­
вать тензор /г*ар (см. § 4 этой главы). Напомним, что для вычис­
ления величины вектора F a (в данном случае 3‫־‬мерного), т. е.
величины ускорения, необходимо образовать скаляр [см.( 1 .5 . 1 1 )]:
F = У F aF a = Y F aF&ht’а|3•
Например, на вращающемся диске из (1.4.6) находим
f1 i :

__Sl02
L__
рг—м
F s — О 1F —
»2 9
У м
Q2r2
~ >
‫“־‬
‫ ־‬75“

Q2r__
022г»2
2 ‫״‬
Q
1 — ‫־‬т ‫־‬

Вращение системы отсчета, т. е. поле кориолисовых сил,
определяется 3-мерным тензором угловой скорости вращения
С помощью этого тензора можно вычислить 3-мерный век­
тор угловой скорости вращения *) й а:
6 6‫״‬

=

4 ‫־‬

^

Рт•

(1 -6 .2 )

Здесь еар-, определяется следующим образом: 8 123 = ( —

любая перестановка индексов меняет только знак компоненты;
если хотя бы два значка совпадают, то еа^ = 0. Тензор угловой
*) Мы обозначаем здесь вектор
тцвистской теории,

чтобы не путать с вектором й нереля-

скорости

вращения

определяется

л“ = т^

(

4
-

^

с
+

*

помощью
*

*

#

выражений


Скаляр Q = Y й айр/г*а^ есть угловая скорость поворота за
единицу собственного времени Ах — У £оо dt.
Д ля вращающегося диска в цилиндрической системе коорди­
нат имеем
Л!» = - А 21 =

Q2r2

»2

Остальные А а& = 0. Вектор угловой скорости имеет компо­
ненты
О. ==

9



^2

^1

~

0*

1- 1 Г

В системе отсчета, в которой все g0a = 0, все А а$ = 0. Если
в некоторой области А а $ 0 =/=‫׳‬, т. е. система отсчета вращается,
то в этой области нельзя синхронизовать часы. Д ля вращаю­
щегося диска это было показано выше. Если же А а$ = 0, то это
означает, что система не вращается и преобразованием коорди­
наты времени х° =
(я0, я1, х2, Xs) можно обратить все g0i в
нули, т. е. синхронизовать часы.
Пусть в некоторый момент тело покоится в данной системе
отсчета. Тогда ds2 = £0о (dx0)2 и его 4-скорость имеет компоненты
п

dx о

- 1/,

u° = - ^ - = goo,

‫״‬

г,

Ua = 0 .

Из формулы (1.5.19) находим для пространственных компонент а :

ds*

£оо
goо

Подставляя выражение ds2 = c2dx2 и используя символ F a для
инерциальной силы, получаем

с£т2

Мы получили уравнение (1.6.1).

goo

(1.6.1а)

В частном случае стационарности метрики, т. е. при

= О

выражение (1 .6 . 1 ) переписывается в виде *)

Наконец, деформация координатной системы определяется 3 мер­
ным тензором Daß'•
1

С

D aß==~ ^ v i ^ ^ 4

1)

‫)׳‬

Скаляр D = Da = D aßh*afi — скорость относительного
объем­
ного расширения элемента объема системы dV. Если система с
течением времени не деформируется, как, например, равномерно
вращающийся диск, то D aß = 0 .
Заметим, что F а, А а&, £2а, D a&, не зависят от выбора коорди­
наты времени. Если мы будем преобразовывать координату вре­
мени [иными словами, по-разному выбирать единицу измерения
времени (масштаб); кроме того, берется разное начало отсчета
времени в разных точках системы отсчета]:
х° = х ° (£°, х 1, х 2, #3),

(1 . 6 . 5 )

то перечисленные величины вообще не меняются. Так и должно
быть для величин, описывающих состояние движения системы
отсчета, ибо преобразование (1.6.5) это состояние не меняет.
Такие величины были названы A. JI. Зельмановым (1956) хроно­
метрическими инвариантами. Далее, если менять только простран­
ственные координаты, т. е. по-разному чертить координатную
сетку системы отсчета:
х а = х а (я1, х 2, х 3),

(1.6.6)

то компоненты вектора Fa, например, меняются, аналогично
изменениям компонент вектора при повороте декартовых коор­
динат, но сам вектор неизменен, неизменна его длина — с к а л я р ^ .
То же относится к скалярам Q, D.
Лишь при переходе‫ ״‬к другой системе отсчета, т. е. к другому
состоянию движения: tra = х а (£°, Д?1, £ 2 £3), доР/дх0 =£= 0 ме­
няются и величины, его характеризующие, скаляры F, Q, D .
*)

Точнее,

для

справедливости

(1.6.1Ь)

требуется

только, чтобы

§ 7. Кривизна пространства — времени
В предыдущих параграфах коротко перечислены геометри­
ческие и физические свойства неинерциальных систем в плоском
пространстве — времени Минковского.
Согласно ОТО вблизи массивных тел пространство — время
искривлено и является 4-мерным римановым пространством (точ­
нее, псевдоримановым) *). В конечной (не малой) области этого
4‫־‬мерного пространства уже нельзя ввести галилееву систему
координат, в которой интервал имел бы вид (1 .2 . 1 )
= (ей()2, — Ах2 — йу2 — йъ2,
но это можно сделать в малой области, введя в данном месте
свободно движущуюся (свободно падающую в поле тяготения)
систему отсчета. Такая система отсчета называется локально
галилеевой**). В локально галилеевой системе поле тяготенияне
проявляется — имеет место невесомость. Математически воз­
можность выбрать такую систему, очевидно, связана с тем, что
малый участок кривого пространства совпадает с плоским каса­
тельным пространством.
По отношению к локально галилеевой системе другие системы,
в которых уже проявляется действие тяготения, движутся ус­
коренно, и переход от галилеевой в данный точке системы к этим
системам есть просто переход в малой области от инерциальной
системы к неинерциальным. Силы инерции и силы тяготения
локально неразличимы. Следовательно, как мы уже отмечали,
все формулы для геометрических, динамических и кинематических
величин, приведенные в предыдущих параграфах и имеющие
локальный характер, т. е. описывающие свойства системы в малой
области в данный момент времени, будут справедливы и в общем
случае кривого пространства — времени. Вычисление длин, про­
межутков времени гравитационно-инерциальных сил, вращения
и т. д. производится в ОТО по приведенным выше формулам.
Подчеркнем только, что теперь уравнения (1.5.19) определяют
в произвольных координатах не прямую, а экстремальную в
кривом пространстве — времени геодезическую линию (в искрив­
*) Кривизна пространства — времени в ОТО не обязательно связана
с присутствием вещества или (негравитационного) поля. Как будет видно из
дальнейшего, ОТО предсказывает существование !гравитационных волн, несу­
щ их энергию и вызывающих искривление пространства. С другой стороны,
возможны нестационарные решения для пустого искривленного пространства—
времени, описывающие анизотропную деформацию пространства и нигде не
содержащ ие вещество. Эти решения, так ж е как и решения для гравитацион­
ных волн, описывают свободное гравитационное поле.
**) Число таких систем в каждой точке — о о 6 . В такой системе в данной
д 8цс

точке не только