Практическое введение в решение дифференциальных уравнений в Python [Николай Михайлович Ершов] (pdf) читать постранично

Н. М. Ершов

Практическое
введение в решение
дифференциальных
уравнений в Рython

Москва, 2022

УДК 517.9
ББК 22.161.61
Е80

Е80

Ершов Н. М.
Практическое введение в решение дифференциальных уравнений
в Python. – М.: ДМК Пресс, 2022. – 176 с.: ил.
ISBN 978-5-93700-147-4
Книга посвящена вопросам практического применения символьных вычислений для решения различных прикладных задач, приводящих к дифференциальным уравнениям и их системам, с использованием библиотеки символьных
вычислений SymPy языка Python.
Издание ориентировано на школьников старших классов, студентов, преподавателей и всех, интересующихся тематикой математического моделирования.
Может служить дополнением к классическим учебникам по теории обыкновенных
дифференциальных уравнений.

УДК 517.9
ББК 22.161.61

Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой
бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения
владельцев авторских прав.
Материал, изложенный в данной книге, многократно проверен. Но поскольку вероятность технических ошибок все равно существует, издательство не может гарантировать
абсолютную точность и правильность приводимых сведений. В связи с этим издательство
не несет ответственности за возможные ошибки, связанные с использованием книги.

ISBN 978-5-93700-147-4

© Н. М. Ершов, 2022
© Оформление, издание, ДМК Пресс, 2022

Оглавление
https://t.me/it_boooks

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Глава

1

Глава

2

Глава

3

Глава

4

Глава

5

Глава

6

Глава

7

Глава

8

Глава

9

Глава

10

Вращение жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Задача (7) Модель (9) Упражнения и замечания (18)

Водяные часы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Задача (21) Модель (22) Упражнения и замечания (29)

Элементарные химические реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Закон действующих масс (33) Задача (35) Модель (35)
Упражнения и замечания (38)

Задача о четырех жуках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Кривые погони (41) Задача (41) Модель (43) Упражнения
и замечания (47)

Барометрическая формула . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Задача (51) Модель (53) Упражнения и замечания (58)

Модели роста. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Модель естественного роста (61) Модель Ферхюльста (62)
Модель (62) Упражнения и замечания (68)

Табулирование функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Метод Эйлера (73) Задача (74) Модель (75) Упражнения
и замечания (81)

Ортогональные траектории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Ортогональные семейства кривых (85) Задача (85)
Модель (87) Упражнения и замечания (90)

Математическая вышивка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Задача (95) Уравнение Клеро (96) Модель (97)
Упражнения и замечания (101)

Криволинейные зеркала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Задача (105) Модель (106) Упражнения и замечания (112)

4

Оглавление
Глава

11

Глава

12

Глава

13

Глава

14

Глава

15

Глава

16

Из пушки на луну . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Задача (115) Модель (116) Упражнения и замечания (120)

Метроном . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Задача (123) Модель (124) Упражнения и замечания (130)

Пружинный маятник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Задача (133) Модель (134) Упражнения и замечания (140)

Модель Лотки–Вольтерры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Задача (143) Модель (144) Упражнения и замечания (149)

Системы реакций первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Задача (153) Преобразование Лапласа (154) Модель (156)
Упражнения и замечания (160)

Геодезические линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Задача (163) Уравнение Эйлера—Лагранжа (165)
Модель (166) Упражнения и замечания (171)

Введение
Настоящая книга посвящена вопросам практического применения символьных вычислений для решения
различных прикладных задач, приводящих к дифференциальным уравнениям и их системам. Как известно, решение дифференциальных уравнений — с одной
стороны, процесс многогранный и местами даже творческий, с другой — связан с выполнением больших
объемов и чисто рутинной работы: арифметика, алгебраические преобразования, вычисления производных и интегралов и т. д. Такая деятельность является
по большому счету чисто механической, поэтому она
относительно легко и эффективно алгоритмизуется и
может быть реализована программно на любом современном языке программирования.
Программные системы, позволяющие пользователю работать с математическими формулами, выполняя над ними те или иные символьные преобразования, называются системами символьных вычислений,
или системами компьютерной алгебры. Первые такие
системы